Divergence faible de \(\sigma:\Omega\subset{\Bbb R}^N\to L^2(\Omega)^N\)
$$\exists w\in L^2(\Omega),\forall\varphi\in\mathcal C_c^\infty(\Omega),\quad\int_\Omega\sigma(x)\cdot\nabla\varphi(x)\,dx=-\int_\Omega w(x)\varphi(x)\,dx$$
- on a un espace de Sobolev associé \(H_\text{div}:=\{\sigma\in L^2\mid\rm{div }\sigma\in L^2\}\)
- caractérisation des fonctions admettant une divergence faible : $$\exists C\gt 0,\forall\varphi\in\mathcal C_c^\infty(\Omega),\quad\left|\int_\Omega\sigma(x)\cdot\nabla\varphi(x)\,dx\right|\leqslant C\lVert\varphi\rVert_{L^2(\Omega)}$$
Dérivée faible
